Ensembles finis Exemples

$\frac{1}{4} x^{2} - 2 x + 3 \leq 0$

Étape 1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{4} - 2 x + 3 \leq 0$

Étape 2

Multiplier chaque terme dans $\frac{x^{2}}{4} - 2 x + 3 \leq 0$ par $4$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{x^{2}}{4} - 2 x + 3 \leq 0$ par $4$ .

$\frac{x^{2}}{4} \cdot 4 - 2 x \cdot 4 + 3 \cdot 4 \leq 0 \cdot 4$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2}}{4} \cdot 4 - 2 x \cdot 4 + 3 \cdot 4 \leq 0 \cdot 4$

Étape 2.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} - 2 x \cdot 4 + 3 \cdot 4 \leq 0 \cdot 4$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$x^{2} - 8 x + 3 \cdot 4 \leq 0 \cdot 4$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$x^{2} - 8 x + 12 \leq 0 \cdot 4$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Multipliez $0$ par $4$ .

$x^{2} - 8 x + 12 \leq 0$

Étape 3

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} - 8 x + 12 = 0$

Étape 4

Factorisez $x^{2} - 8 x + 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $12$ et dont la somme est $- 8$ .

$- 6, - 2$

Étape 4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 6) (x - 2) = 0$

Étape 5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 6

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 7

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 7.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 6) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 6, 2$

Étape 9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 2$

$2 < x < 6$

$x > 6$

Étape 10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 10.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{4} \cdot {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 3 \leq 0$

Étape 10.1.3

Le côté gauche $3$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $2 < x < 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 10.2.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{4} \cdot {(4)}^{2} - 2 \cdot 4 + 3 \leq 0$

Étape 10.2.3

Le côté gauche $- 1$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 10.3.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{1}{4} \cdot {(8)}^{2} - 2 \cdot 8 + 3 \leq 0$

Étape 10.3.3

Le côté gauche $3$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 2$ Faux

$2 < x < 6$ Vrai

$x > 6$ Faux

$x < 2$ Faux

$2 < x < 6$ Vrai

$x > 6$ Faux

Étape 11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$2 \leq x \leq 6$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$2 \leq x \leq 6$

Notation d’intervalle :

$[2, 6]$

Étape 13